Analysis Beispiele

$S = \frac{\sqrt{h w}}{60}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{h w}$ als ${(h w)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d w} [\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}]$

Schritt 1.2

Da $\frac{1}{60}$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}$ nach $w$ gleich $\frac{1}{60} \frac{d}{d w} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{60} \frac{d}{d w} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = w^{\frac{1}{2}}$ und $g (w) = h w$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $h w$ .

$\frac{1}{60} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d w} [h w])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [h w])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $h w$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [h w])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{{(h w)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [h w])$

Schritt 7.3

Bringe ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [h w])$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{60}$ .

$\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}} \cdot 60} \frac{d}{d w} [h w]$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $60$ mit $2$ .

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [h w]$

Schritt 8

Da $h$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $h w$ nach $w$ gleich $h \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} (h \frac{d}{d w} [w])$

Schritt 9

Kombiniere $h$ und $\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [w]$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende die Produktregel auf $h w$ an.

$\frac{h}{120 (h^{\frac{1}{2}} w^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 12.2

Vereine die Terme

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Schritt 12.2.1

Bringe $h^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{h \cdot h^{- \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2.2

Multipliziere $h$ mit $h^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.2.2.1

Mutltipliziere $h$ mit $h^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 12.2.2.1.1

Potenziere $h$ mit $1$ .

$\frac{h^{1} h^{- \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{h^{1 - \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{h^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{h^{\frac{2 - 1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{h^{\frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$