Analysis Beispiele

$\frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x - 1)}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x - 1)}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int {(x - 1)}^{3} x^{- 3} d x$

Schritt 5

Sei $u_{1} = x - 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int {u_{1}}^{3} {(u_{1} + 1)}^{- 3} d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} + 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 6.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int {(u_{2} - 1)}^{3} {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.2

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1) + {(- 1)}^{3}) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.3

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1) - {(- 1)}^{2}) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.4

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1) - - - 1) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1)) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1) {u_{2}}^{- 3} + 3 u_{2} (- - 1) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} + 3 u_{2} (- - 1) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.8

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 u_{2} (- - 1) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.9

Bewege $u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.10

Versetze die Klammern.

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {u_{2}}^{3 - 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.12

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\int {u_{2}}^{0} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.13

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.14

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{2 - 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.16

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.17

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} - 3 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.18

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.19

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- 3}) - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{1 - 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.21

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.24

Stelle $1$ und $- 3 {u_{2}}^{- 1}$ um.

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} + 1 + 3 {u_{2}}^{- 2} - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.25

Bewege $1$ .

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} + 1 - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.26

Bewege $1$ .

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} - 1 {u_{2}}^{- 3} + 1 d u_{2}$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} d u_{2} + \int 3 {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

Schritt 9

Da $- 3$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- 3 \int {u_{2}}^{- 1} d u_{2} + \int 3 {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

Schritt 10

Das Integral von ${u_{2}}^{- 1}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + \int 3 {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

Schritt 11

Da $3$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 2}$ nach $u_{2}$ gleich $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

Schritt 13

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - \int {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 3}$ nach $u_{2}$ gleich $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{- 2}$ .

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2} {u_{2}}^{- 2} + C) + \int d u_{2}$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere ${u_{2}}^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{{u_{2}}^{- 2}}{2} + C) + \int d u_{2}$

Schritt 15.2

Bringe ${u_{2}}^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} + C) + \int d u_{2}$

Schritt 16

Wende die Konstantenregel an.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} + C) + u_{2} + C$

Schritt 17

Vereinfache.

$- 3 \ln (| u_{2} |) - \frac{3}{u_{2}} + \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} + u_{2} + C$

Schritt 18

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 18.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} + 1$ .

$- 3 \ln (| u_{1} + 1 |) - \frac{3}{u_{1} + 1} + \frac{1}{2 {(u_{1} + 1)}^{2}} + u_{1} + 1 + C$

Schritt 18.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 1$ .

$- 3 \ln (| x - 1 + 1 |) - \frac{3}{x - 1 + 1} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Schritt 19

Vereinfache.

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Schritt 19.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- 3 \ln (| x + 0 |) - \frac{3}{x - 1 + 1} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Schritt 19.2

Addiere $x$ und $0$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x - 1 + 1} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Schritt 19.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x + 0} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Schritt 19.4

Addiere $x$ und $0$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Schritt 19.5

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 {(x + 0)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Schritt 19.6

Addiere $x$ und $0$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Schritt 19.7

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x + 0 + C$

Schritt 19.8

Addiere $x$ und $0$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$

Schritt 20

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$