Analysis Beispiele

$\arcsin (x)$

Schritt 1

Die Ableitung von $\arcsin (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 2.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.12

Multipliziere.

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Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Schritt 2.14

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.14.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Schritt 2.14.2

Kombiniere $\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.14.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.14.5

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$