Analysis Beispiele

$y = x^{2^{x}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2^{x}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Schreibe $x^{2^{x}}$ als $e^{\ln (x^{2^{x}})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2^{x}})}]$

Schritt 3.1.2

Zerlege $\ln (x^{2^{x}})$ durch Herausziehen von $2^{x}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{2^{x} \ln (x)}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2^{x} \ln (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2^{x} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2^{x} \ln (x)$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2^{x}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} (2^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} (2^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Schritt 3.5

Kombiniere $2^{x}$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} (\frac{2^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} (\frac{2^{x}}{x} + \ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

Schritt 3.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2^{x} \ln (x)} \frac{2^{x}}{x} + e^{2^{x} \ln (x)} (\ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $e^{2^{x} \ln (x)}$ und $\frac{2^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x} + e^{2^{x} \ln (x)} (\ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

Schritt 3.7.3

Stelle die Terme um.

$2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$