Analysis Beispiele

$y = e^{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 1})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

Schritt 3.2.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

Schritt 3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{2} - 1} (2 x)$ um.

$2 e^{x^{2} - 1} x$

Schritt 3.3.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2} - 1} x$ um.

$2 x e^{x^{2} - 1}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 x e^{x^{2} - 1}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x e^{x^{2} - 1}$