Analysis Beispiele

$\int \frac{20 x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $20$ aus dem Integral.

$20 \int \frac{x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 7 - 3 x^{2}$ . Dann ist $d u = - 6 x d x$ , folglich $- \frac{1}{6} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = 7 - 3 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $7 - 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 3 x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$0 - 6 x$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $6 x$ von $0$ .

$- 6 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{- 6} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} (- \frac{1}{6}) d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$20 \int - \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 6} d u$

Schritt 3.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{u}$ .

$20 \int - \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$20 (- \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$- 20 \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$- 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $- 20$ .

$\frac{- 20}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 20$ heraus.

$\frac{2 (- 10)}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 7.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 7.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 7.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 7.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 7.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{10}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 7.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 7.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Schritt 7.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Schreibe $- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ als $- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ um.

$- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{10}{3}$ .

$- \frac{3 \cdot 10}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$- \frac{30}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{30}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.4.1

Faktorisiere $6$ aus $30$ heraus.

$- \frac{6 \cdot 5}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 9.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$- \frac{6 \cdot 5}{6 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 9.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 9.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 9.2.4.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 9.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $7 - 3 x^{2}$ .

$- 5 {(7 - 3 x^{2})}^{\frac{2}{3}} + C$