Analysis Beispiele

$lim_{z \to 1} \frac{z - 1}{\sqrt{2 - z} - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{z \to 1} z - 1}{lim_{z \to 1} \sqrt{2 - z} - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $z$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{z \to 1} z - lim_{z \to 1} 1}{lim_{z \to 1} \sqrt{2 - z} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $z$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{z \to 1} z - 1 \cdot 1}{lim_{z \to 1} \sqrt{2 - z} - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $z$ durch Einsetzen von $1$ für $z$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{z \to 1} \sqrt{2 - z} - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{z \to 1} \sqrt{2 - z} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{z \to 1} \sqrt{2 - z} - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $z$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{z \to 1} \sqrt{2 - z} - lim_{z \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{z \to 1} 2 - z} - lim_{z \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $z$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{z \to 1} 2 - lim_{z \to 1} z} - lim_{z \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $z$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{2 - lim_{z \to 1} z} - lim_{z \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $z$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{2 - lim_{z \to 1} z} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $z$ durch Einsetzen von $1$ für $z$ .

$\frac{0}{\sqrt{2 - 1} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.6.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.6.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{z \to 1} \frac{z - 1}{\sqrt{2 - z} - 1} = lim_{z \to 1} \frac{\frac{d}{d z} [z - 1]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{2 - z} - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{z \to 1} \frac{\frac{d}{d z} [z - 1]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{2 - z} - 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z - 1$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ .

$lim_{z \to 1} \frac{\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{2 - z} - 1]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d z} [- 1]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{2 - z} - 1]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d z} [\sqrt{2 - z} - 1]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d z} [\sqrt{2 - z} - 1]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{2 - z} - 1$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [\sqrt{2 - z}] + \frac{d}{d z} [- 1]$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d z} [\sqrt{2 - z}] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d z} [\sqrt{2 - z}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - z}$ als ${(2 - z)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d z} [{(2 - z)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ ist $f' (g (z)) g' (z)$ , mit $f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ und $g (z) = 2 - z$ .

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Schritt 1.3.7.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - z$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [2 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [2 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - z$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} {(2 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [2 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - z$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [2] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} {(2 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d z} [2] + \frac{d}{d z} [- z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.4

Da $2$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} {(2 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d z} [- z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- z$ nach $z$ gleich $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} {(2 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d z} [z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} {(2 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} {(2 - z)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} {(2 - z)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} {(2 - z)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.7.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} {(2 - z)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} {(2 - z)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} {(2 - z)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} {(2 - z)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.13

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} {(2 - z)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{{(2 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.15

Kombiniere $\frac{{(2 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $- 1$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{{(2 - z)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.16

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${(2 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{- 1 \cdot {(2 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.17

Schreibe $- 1 {(2 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ als $- {(2 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ um.

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{- {(2 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.18

Bringe ${(2 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{\frac{- 1}{2 {(2 - z)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{z \to 1} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(2 - z)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(2 - z)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $- \frac{1}{2 {(2 - z)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{z \to 1} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(2 - z)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{z \to 1} 1 (- (2 {(2 - z)}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 1.5

Schreibe ${(2 - z)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{2 - z}$ um.

$lim_{z \to 1} 1 (- (2 \sqrt{2 - z}))$

Schritt 1.6

Vereinige Faktoren.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{z \to 1} 1 (- 2 \sqrt{2 - z})$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{z \to 1} - 2 \sqrt{2 - z}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $z$ ist.

$- 2 lim_{z \to 1} \sqrt{2 - z}$

Schritt 2.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 2 \sqrt{lim_{z \to 1} 2 - z}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $z$ sich an $1$ annähert.

$- 2 \sqrt{lim_{z \to 1} 2 - lim_{z \to 1} z}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $z$ sich $1$ annähert.

$- 2 \sqrt{2 - lim_{z \to 1} z}$

Schritt 2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.5.1

Berechne den Grenzwert von $z$ durch Einsetzen von $1$ für $z$ .

$- 2 \sqrt{2 - 1}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- 2 \sqrt{1}$

Schritt 2.5.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 2.5.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$