Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{x + 1}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \sqrt{x + 1} d x$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sqrt{x + 1}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 6

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ als $\frac{2}{3} x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ um.

$\frac{2}{3} x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $\frac{2 x}{3}$ und ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8.2.6

Um $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

Schritt 8.2.7

Kombiniere $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Schritt 8.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Schritt 8.2.9

Kombiniere $u^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{4}{15}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C$

Schritt 8.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C$

Schritt 8.2.11

Kombiniere $- 3$ und $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C$

Schritt 8.2.12

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Schritt 8.2.13

Faktorisiere $3$ aus $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

Schritt 8.2.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.14.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

Schritt 8.2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

Schritt 8.2.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Schritt 8.2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Schritt 8.2.16

Um $2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Schritt 8.2.17

Kombiniere $2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Schritt 8.2.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Schritt 8.2.19

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Schritt 8.2.20

Schreibe $\frac{\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ als ein Produkt um.

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

Schritt 8.2.21

Mutltipliziere $\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Schritt 8.2.22

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{15} (10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \sqrt{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{15} (10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$