Analysis Beispiele

$π \int_{0}^{1} [{(x^{4})}^{2} - {(x^{7})}^{2}] d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$π \int_{0}^{1} {(x^{4})}^{2} - {(x^{7})}^{2} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$π \int_{0}^{1} x^{4 \cdot 2} - {(x^{7})}^{2} d x$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$π \int_{0}^{1} x^{8} - {(x^{7})}^{2} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{7})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$π \int_{0}^{1} x^{8} - x^{7 \cdot 2} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$π \int_{0}^{1} x^{8} - x^{14} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$π (\int_{0}^{1} x^{8} d x + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{8}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$π (\frac{1}{9} x^{9}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $x^{9}$ .

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{14} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{14}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{15} x^{15}$ .

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - (\frac{1}{15} x^{15}]_{0}^{1}))$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{15}$ und $x^{15}$ .

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - (\frac{x^{15}}{15}]_{0}^{1}))$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{x^{9}}{9}$ bei $1$ und $0$ .

$π ((\frac{1^{9}}{9}) - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{x^{15}}{15}]_{0}^{1}))$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{x^{15}}{15}$ bei $1$ und $0$ .

$π (\frac{1^{9}}{9} - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$π (\frac{1}{9} - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Schritt 8.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{0}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Schritt 8.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $9$ .

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Schritt 8.2.3.3.1

Faktorisiere $9$ aus $0$ heraus.

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 (0)}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Schritt 8.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.3.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Schritt 8.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Schritt 8.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (\frac{1}{9} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Schritt 8.2.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$π (\frac{1}{9} - 0 - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Schritt 8.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π (\frac{1}{9} + 0 - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Schritt 8.2.3.5

Addiere $\frac{1}{9}$ und $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Schritt 8.2.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Schritt 8.2.3.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0}{15}))$

Schritt 8.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $15$ .

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Schritt 8.2.3.8.1

Faktorisiere $15$ aus $0$ heraus.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 (0)}{15}))$

Schritt 8.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.8.2.1

Faktorisiere $15$ aus $15$ heraus.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1}))$

Schritt 8.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1}))$

Schritt 8.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0}{1}))$

Schritt 8.2.3.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - 0))$

Schritt 8.2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} + 0))$

Schritt 8.2.3.10

Addiere $\frac{1}{15}$ und $0$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{1}{15})$

Schritt 8.2.3.11

Um $\frac{1}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{1}{9} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{15})$

Schritt 8.2.3.12

Um $- \frac{1}{15}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{1}{9} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 8.2.3.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $45$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.3.13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{5}{9 \cdot 5} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 8.2.3.13.2

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$π (\frac{5}{45} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 8.2.3.13.3

Mutltipliziere $\frac{1}{15}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{5}{45} - \frac{3}{15 \cdot 3})$

Schritt 8.2.3.13.4

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$π (\frac{5}{45} - \frac{3}{45})$

Schritt 8.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π \frac{5 - 3}{45}$

Schritt 8.2.3.15

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$π \frac{2}{45}$

Schritt 8.2.3.16

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{45}$ .

$\frac{π \cdot 2}{45}$

Schritt 8.2.3.17

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{2 π}{45}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 π}{45}$

Dezimalform:

$0.13962634 \dots$

Schritt 10