Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (e^{x} - 1)$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (e^{x} - 1)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 0} \sec (e^{x} - 1))}^{2}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} e^{x} - 1)$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1)$

Schritt 1.4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\sec^{2} (e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1)$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\sec^{2} (e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sec^{2} (e^{0} - 1 \cdot 1)$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\sec^{2} (1 - 1 \cdot 1)$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sec^{2} (1 - 1)$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\sec^{2} (0)$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$1^{2}$

Schritt 3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1$