Analysis Beispiele

$y = x {(2 x + 1)}^{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(2 x + 1)}^{4})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(2 x + 1)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{4}] + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \cdot 1$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere ${(2 x + 1)}^{4}$ mit $1$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Faktorisiere ${(2 x + 1)}^{3}$ aus $x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere ${(2 x + 1)}^{3}$ aus $x (8 {(2 x + 1)}^{3})$ heraus.

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{4}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere ${(2 x + 1)}^{3}$ aus ${(2 x + 1)}^{4}$ heraus.

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere ${(2 x + 1)}^{3}$ aus ${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$ heraus.

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8) + 2 x + 1)$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

${(2 x + 1)}^{3} (8 \cdot x + 2 x + 1)$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $8 x$ und $2 x$ .

${(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = {(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$