Analysis Beispiele

Find the derivative of $\sin^{2} (x + 5)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x + 5)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x + 5)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x + 5)$ .

$2 \sin (x + 5) \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x + 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 5$ .

$2 \sin (x + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (x + 5) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 5$ .

$2 \sin (x + 5) (\cos (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (1 + 0)$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) \cdot 1$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x + 5) \cos (x + 5)$ um.

$2 \cos (x + 5) \sin (x + 5)$

Schritt 4.2

Stelle $2 \cos (x + 5)$ und $\sin (x + 5)$ um.

$\sin (x + 5) (2 \cos (x + 5))$

Schritt 4.3

Stelle $\sin (x + 5)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x + 5) \cos (x + 5)$

Schritt 4.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 (x + 5))$

Schritt 4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (2 x + 2 \cdot 5)$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\sin (2 x + 10)$