Analysis Beispiele

$5 x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 1.8

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 1.10

Kombiniere $- 5$ und $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 5 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.11.1

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{5}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ als ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Schritt 2.10

Multipliziere.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{5}{2}) \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{5 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.12

Multipliziere.

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Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

Schritt 2.12.3

Bringe $x^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{15}{4 x^{\frac{5}{2}}}$