Analysis Beispiele

Find the derivative of $\sqrt[3]{6 x + 2}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{6 x + 2}$ als ${(6 x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(6 x + 2)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 6 x + 2$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x + 2$ .

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(6 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(6 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Schritt 7.3

Bringe ${(6 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 9

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 11

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (6 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 12

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (6 + 0)$

Schritt 13

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.1

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 6$

Schritt 13.2

Kombiniere $\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ und $6$ .

$\frac{6}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.3

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 ({(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{{(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$