Analysis Beispiele

$\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$ als ${(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 - x^{2} - y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x^{2} - y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x^{2} - y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 - x^{2} - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2} - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Schritt 7.3

Bringe ${(4 - x^{2} - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2} - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 14

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x + 0)$

Schritt 15

Vereinfache Terme.

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Schritt 15.1

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Schritt 15.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{{(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{{(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$