Analysis Beispiele

$\int_{1}^{9} (2 x + \frac{1}{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{9} 2 x + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{9} 2 x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $9$ und $1$ .

$2 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Schritt 7.1.2

Berechne $\ln (| x |)$ bei $9$ und $1$ .

$2 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 7.1.3

Vereinfache.

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Schritt 7.1.3.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 7.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 7.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{81 - 1}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 7.1.3.4

Subtrahiere $1$ von $81$ .

$2 (\frac{80}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 7.1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $2$ .

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Schritt 7.1.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $80$ heraus.

$2 \frac{2 \cdot 40}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 7.1.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 (1)} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 7.1.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 7.1.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{40}{1}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 7.1.3.5.2.4

Dividiere $40$ durch $1$ .

$2 \cdot 40 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 7.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $40$ .

$80 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 7.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$80 + \ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $9$ ist $9$ .

$80 + \ln (\frac{9}{| 1 |})$

Schritt 7.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$80 + \ln (\frac{9}{1})$

Schritt 7.3.3

Dividiere $9$ durch $1$ .

$80 + \ln (9)$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$80 + \ln (9)$

Dezimalform:

$82.19722457 \dots$

Schritt 9