Analysis Beispiele

$y = \cos (4 x + 5)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cos (4 x + 5))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 4 x + 5$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x + 5$ .

$- \sin (4 x + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \sin (4 x + 5) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (4 x + 5) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (4 x + 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \sin (4 x + 5) (4 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.2.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \sin (4 x + 5) (4 + 0)$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$- \sin (4 x + 5) \cdot 4$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \sin (4 x + 5)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 4 \sin (4 x + 5)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 4 \sin (4 x + 5)$