Analysis Beispiele

$y = \frac{5}{5 x^{2} + 5}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5}{5 x^{2} + 5})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $5 x^{2} + 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 x^{2} + 5}]$

Schritt 3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2}) + 5}]$

Schritt 3.1.1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2}) + 5 (1)}]$

Schritt 3.1.1.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2}) + 5 (1)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2} + 1)}]$

Schritt 3.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2} + 1)}]$

Schritt 3.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

Schritt 3.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Schritt 3.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$