Analysis Beispiele

$y = x e^{- x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x e^{- x})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (e^{- x} (- x')) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (e^{- x} (- x')) + e^{- x} x'$

Schritt 3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Stelle die Terme um.

$- e^{- x} x x' + e^{- x} x'$

Schritt 3.6.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x x' + e^{- x} x'$ um.

$- x e^{- x} x' + e^{- x} x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - x e^{- x} x' + e^{- x} x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- x e^{- x} x' + e^{- x} x' = 1$ um.

$- x e^{- x} x' + e^{- x} x' = 1$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $- x e^{- x} x' + e^{- x} x'$ um.

$- x x' e^{- x} + x' e^{- x} = 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x' e^{- x}$ aus $- x x' e^{- x} + x' e^{- x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x' e^{- x}$ aus $- x x' e^{- x}$ heraus.

$x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} = 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x' e^{- x}$ aus $x' e^{- x}$ heraus.

$x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} \cdot 1 = 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x' e^{- x}$ aus $x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} \cdot 1$ heraus.

$x' e^{- x} (- x + 1) = 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' e^{- x} (- x + 1) = 1$ durch $e^{- x} (- x + 1)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' e^{- x} (- x + 1) = 1$ durch $e^{- x} (- x + 1)$ .

$\frac{x' e^{- x} (- x + 1)}{e^{- x} (- x + 1)} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' e^{- x} (- x + 1)}{e^{- x} (- x + 1)} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x) + 1)}$

Schritt 5.4.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x) - 1 (- 1))}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x - 1))}$

Schritt 5.4.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.4.1

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- 1 (x - 1))}$

Schritt 5.4.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{1}{e^{- x} (x - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{1}{e^{- x} (x - 1)}$