Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{2 lim_{h \to 0} \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $2 \sqrt[3]{8}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + 0} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{2 \sqrt[3]{2^{3}} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{2 \cdot 2 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{2^{3}}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{4 - 2 \cdot 2}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{2^{3}}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5

Berechne $\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}]$ .

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Schritt 1.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{8 + h}$ als ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.2

Da $2$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ nach $h$ gleich $2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ und $g (h) = 8 + h$ .

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Schritt 1.3.5.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.3.3

Ersetze alle $u$ durch $8 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.5

Da $8$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.5.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.10.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{- 2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.12

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.13

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.14

Mutltipliziere $\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.15

Bringe ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.16

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6

Berechne $\frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ .

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.7

Addiere $\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{2}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{2}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{{(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $\frac{2}{3}$ von ${(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{2 \cdot 1}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{2}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{2}}$

Schritt 4.3.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{3 \cdot 4}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{2}{12}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{12}$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{6}$

Dezimalform:

$0.1\overline{6}$