Analysis Beispiele

$y = \frac{\sqrt{1 - \sin (x)}}{x^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - \sin (x)}$ als ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{{(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 9.2.2

Bringe ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 9.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 9.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 9.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- \sin (x)] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 9.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 10

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \cos (x)) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 11.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x}{x^{4}}$

Schritt 12

Vereinige $- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 12.1

Bewege ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{x^{4}}$

Schritt 12.2

Um $- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Schritt 12.3

Kombiniere $- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Schritt 12.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Schritt 13

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Schritt 14

Multipliziere ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.1

Bewege ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x ({(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Schritt 14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Schritt 14.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Schritt 14.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{2}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Schritt 14.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{1}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Schritt 15

Vereinfache $- 4 x {(1 - \sin (x))}^{1}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Schritt 16

Schreibe $\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$ als ein Produkt um.

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 17

Mutltipliziere $\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Schritt 18.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x - 4 x (- \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Schritt 18.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x + 4 x \sin (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Schritt 18.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} \cos (x) + 4 x \sin (x) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.4

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} \cos (x) + 4 x \sin (x) - 4 x$ heraus.

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Schritt 18.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} \cos (x)$ heraus.

$\frac{x (- x \cos (x)) + 4 x \sin (x) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.4.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x \sin (x)$ heraus.

$\frac{x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x)) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.4.3

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x)) + x \cdot - 4}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.4.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x))$ heraus.

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x)) + x \cdot - 4}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.4.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- x \cos (x) + 4 \sin (x)) + x \cdot - 4$ heraus.

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 18.5.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{x (2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 18.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{x (2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 18.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \cos (x)$ heraus.

$\frac{- (x \cos (x)) + 4 \sin (x) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.7

Faktorisiere $- 1$ aus $4 \sin (x)$ heraus.

$\frac{- (x \cos (x)) - (- 4 \sin (x)) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \cos (x)) - (- 4 \sin (x))$ heraus.

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.9

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 1 (4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 1 (4)$ heraus.

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.11

Schreibe $- (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)$ als $- 1 (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)$ um.

$\frac{- 1 (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$