Analysis Beispiele

$lim_{x \to 5^{+}} \frac{\sqrt{x - 5}}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5^{+}} \sqrt{x - 5}}{lim_{x \to 5^{+}} x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5^{+}} x - 5}}{lim_{x \to 5^{+}} x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5^{+}} x - lim_{x \to 5^{+}} 5}}{lim_{x \to 5^{+}} x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5^{+}} x - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 5^{+}} x}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $5$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 5^{+}} x}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 5}}{5}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{5 - 5}}{5}$

Schritt 6.1.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{\sqrt{0}}{5}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{5}$

Schritt 6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{5}$

Schritt 6.2

Dividiere $0$ durch $5$ .

$0$