Analysis Beispiele

$- 5 x - y^{2} - 4 y + 3 y^{3} + x^{2} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 5 x - y^{2} - 4 y + 3 y^{3} + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x - y^{2} - 4 y + 3 y^{3} + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 5 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 5 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$- 5 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 5 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$- 5 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 5 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 5 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 9 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.6.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 9 y^{2} y' + 2 x$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$- 2 y y' + 9 y^{2} y' + 2 x - 5 - 4 y'$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 y y' + 9 y^{2} y' + 2 x - 5 - 4 y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' + 9 y^{2} y' - 5 - 4 y' = - 2 x$

Schritt 5.1.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' + 9 y^{2} y' - 4 y' = - 2 x + 5$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y' + 9 y^{2} y' - 4 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y' (- 2 y) + 9 y^{2} y' - 4 y' = - 2 x + 5$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $9 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 2 y) + y' (9 y^{2}) - 4 y' = - 2 x + 5$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 y'$ heraus.

$y' (- 2 y) + y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4 = - 2 x + 5$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 2 y) + y' (9 y^{2})$ heraus.

$y' (- 2 y + 9 y^{2}) + y' \cdot - 4 = - 2 x + 5$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 2 y + 9 y^{2}) + y' \cdot - 4$ heraus.

$y' (- 2 y + 9 y^{2} - 4) = - 2 x + 5$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$y' (9 y^{2} - 2 y - 4) = - 2 x + 5$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (9 y^{2} - 2 y - 4) = - 2 x + 5$ durch $9 y^{2} - 2 y - 4$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (9 y^{2} - 2 y - 4) = - 2 x + 5$ durch $9 y^{2} - 2 y - 4$ .

$\frac{y' (9 y^{2} - 2 y - 4)}{9 y^{2} - 2 y - 4} = \frac{- 2 x}{9 y^{2} - 2 y - 4} + \frac{5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9 y^{2} - 2 y - 4$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (9 y^{2} - 2 y - 4)}{9 y^{2} - 2 y - 4} = \frac{- 2 x}{9 y^{2} - 2 y - 4} + \frac{5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{9 y^{2} - 2 y - 4} + \frac{5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x + 5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) + 5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Schritt 5.4.3.3

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- 5)}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 5)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x - 5)}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Schritt 5.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.3.5.1

Schreibe $- (2 x - 5)$ als $- 1 (2 x - 5)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x - 5)}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Schritt 5.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x - 5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x - 5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$