Analysis Beispiele

$x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 4.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 9.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$