Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2 - 2 x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \ln (3 x - 2)$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1) - 2 x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1) + 2 (- x^{2})}$

Schritt 1.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- x^{2})$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{2 \ln (3 x - 2)}{1 - x^{2}}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\ln (3 x - 2)}{1 - x^{2}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to 1} \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$2 \frac{\ln (lim_{x \to 1} 3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \frac{\ln (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{\ln (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$2 \frac{\ln (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$2 \frac{\ln (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 \frac{\ln (3 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \frac{\ln (3 - 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$2 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 2.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$2 \frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 2.1.3.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \frac{0}{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$2 \frac{0}{1 - 1^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (3 x - 2)}{1 - x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x - 2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.8

Addiere $3$ und $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.9

Kombiniere $\frac{1}{3 x - 2}$ und $3$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 2.3.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 2.3.12

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.12.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.12.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 - 1 \cdot 2 x}$

Schritt 2.3.12.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 - 2 x}$

Schritt 2.3.13

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{- 2 x}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 lim_{x \to 1} \frac{3}{3 x - 2} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{3}{3 x - 2}$ mit $\frac{1}{- 2 x}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{3}{(3 x - 2) \cdot - 2 x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $\frac{3}{- 2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (\frac{3}{- 2}) lim_{x \to 1} \frac{1}{(3 x - 2) x}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) x}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) x}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - 2 \cdot lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3.7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 \frac{3}{2 (- 1)} \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{3}{2 \cdot - 1} \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{- 1} \cdot \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Schritt 5.2

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 3 \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 3 \frac{1}{3 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 \frac{1}{3 - 2}$

Schritt 5.4.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$- 3 (\frac{1}{1})$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 (\frac{1}{1})$

Schritt 5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- 3 \cdot 1$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3$