Analysis Beispiele

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Schritt 1

Schreibe $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ als Funktion.

$f (x) = \cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \cos^{4} (x) d x + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} d x + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 5.2

Schreibe ${\cos (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} d x + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (x)$ als $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int {(\frac{1 + \cos (2 x)}{2})}^{2} d x + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 7

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Schreibe $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ als ein Produkt um.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2

Multipliziere ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ aus.

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Schritt 9.2.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.7

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.8

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.9

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.10

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.11

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.12

Bewege $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.13

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.14

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.15

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.16

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.17

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.18

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.19

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.20

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.21

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.22

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.23

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.24

Mutltipliziere $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.25

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.26

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.27

Mutltipliziere $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.28

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.29

Kombiniere $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ und $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.30

Potenziere $\cos (u_{1})$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.31

Potenziere $\cos (u_{1})$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.32

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.33

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.34

Addiere $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ und $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.35

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.36

Stelle $\frac{2 \cos (u_{1})}{4}$ und $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ um.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.2.37

Stelle $\frac{1}{4}$ und $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ um.

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos (u_{1})$ heraus.

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{1}))}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 11

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 12

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 15

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 16

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 17

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 17.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 17.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 17.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 17.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 17.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 17.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 18

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 19

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 20

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 21

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{1}{4} u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 22

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 23

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 24

Das Integral von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Schritt 25

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \sin^{4} (x) d x$

Schritt 26

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 26.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

Schritt 26.2

Schreibe ${\sin (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

Schritt 27

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (x)$ als $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

Schritt 28

Sei $u_{3} = 2 x$ . Dann ist $d u_{3} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 28.1

Es sei $u_{3} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 28.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 28.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 28.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 28.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 28.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int {(\frac{1 - \cos (u_{3})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{3}$

Schritt 29

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{3})}{2})}^{2} d u_{3})$

Schritt 30

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 30.1

Schreibe $\frac{1 - \cos (u_{3})}{2}$ als ein Produkt um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3})))}^{2} d u_{3}$

Schritt 30.2

Multipliziere ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3})))}^{2}$ aus.

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Schritt 30.2.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 30.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.7

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.8

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.9

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.10

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.11

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.12

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{3}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.13

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.14

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.15

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.16

Bewege $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.17

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.18

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Schritt 30.2.19

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3})) d u_{3}$

Schritt 30.2.20

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.21

Bewege $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.22

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.23

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.24

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.25

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.26

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.27

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.28

Kombiniere $- \frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.29

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.30

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.31

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.32

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.33

Kombiniere $- \frac{\cos (u_{3})}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.34

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.35

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.36

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.37

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos (u_{3})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.38

Mutltipliziere $\frac{\cos (u_{3})}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos (u_{3})}{2 \cdot 2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.39

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos (u_{3})}{4} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 30.2.40

Kombiniere $\frac{\cos (u_{3})}{4}$ und $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos (u_{3}) \cos (u_{3})}{4} d u_{3}$

Schritt 30.2.41

Potenziere $\cos (u_{3})$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{3}) \cos (u_{3})}{4} d u_{3}$

Schritt 30.2.42

Potenziere $\cos (u_{3})$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{3}) \cos^{1} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Schritt 30.2.43

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{{\cos (u_{3})}^{1 + 1}}{4} d u_{3}$

Schritt 30.2.44

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Schritt 30.2.45

Subtrahiere $\frac{\cos (u_{3})}{4}$ von $- \frac{\cos (u_{3})}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Schritt 30.2.46

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos (u_{3})}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Schritt 30.2.47

Stelle $\frac{- 2 \cos (u_{3})}{4}$ und $\frac{\cos^{2} (u_{3})}{4}$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{3})}{4} d u_{3}$

Schritt 30.2.48

Stelle $\frac{1}{4}$ und $\frac{\cos^{2} (u_{3})}{4}$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{3})}{4} d u_{3}$

Schritt 30.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 30.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 30.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (u_{3})$ heraus.

Schritt 30.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 30.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

Schritt 30.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 30.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

Schritt 30.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

Schritt 31

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\int \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 32

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 33

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (u_{3})$ als $\frac{1 + \cos (2 u_{3})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{3})}{2} d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 34

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 35

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 35.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 35.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 36

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (\int d u_{3} + \int \cos (2 u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 37

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \int \cos (2 u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 38

Sei $u_{4} = 2 u_{3}$ . Dann ist $d u_{4} = 2 d u_{3}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{4} = d u_{3}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{4}$ und $d$ $u_{4}$ .

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Schritt 38.1

Es sei $u_{4} = 2 u_{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{4}}{d u_{3}}$ .

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Schritt 38.1.1

Differenziere $2 u_{3}$ .

$\frac{d}{d u_{3}} [2 u_{3}]$

Schritt 38.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{3}$ nach $u_{3}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{3}} [u_{3}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{3}} [u_{3}]$

Schritt 38.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 38.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 38.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{4}$ und $d u_{4}$ neu.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \int \cos (u_{4}) \frac{1}{2} d u_{4}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 39

Kombiniere $\cos (u_{4})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \int \frac{\cos (u_{4})}{2} d u_{4}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 40

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{4}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{4}) d u_{4}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 41

Das Integral von $\cos (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $\sin (u_{4})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 42

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{1}{4} u_{3} + C + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 43

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{u_{3}}{4} + C + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 44

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{u_{3}}{4} + C - \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 45

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{u_{3}}{4} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}))$

Schritt 46

Das Integral von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{u_{3}}{4} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

Schritt 47

Vereinfache.

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Schritt 47.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{u_{1}}{4} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Schritt 47.2

Vereinfache.

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Schritt 47.2.1

Um $\frac{u_{1}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Schritt 47.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 47.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{u_{1}}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Schritt 47.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Schritt 47.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1} + u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Schritt 47.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1} + 2 \cdot u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Schritt 47.2.5

Addiere $u_{1}$ und $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Schritt 47.2.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (u_{4})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Schritt 47.2.7

Kombiniere $\sin (u_{3})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{\sin (u_{3})}{2}) + C$

Schritt 47.2.8

Um $\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{2}) + C$

Schritt 47.2.9

Kombiniere $\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2})$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{2}) + C$

Schritt 47.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Schritt 47.2.11

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{2}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Schritt 47.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 47.2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{2 (1)}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Schritt 47.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 47.2.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Schritt 47.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 47.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{1}{4} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Schritt 48

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 48.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{1}{4} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Schritt 48.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{1}{4} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Schritt 48.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 48.4

Ersetze alle $u_{4}$ durch $2 u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 u_{3})}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 48.5

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 u_{3})}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 48.6

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 49.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 49.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 49.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $3 (2 x)$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 49.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{3 (x)}{4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.3

Vereinfache.

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Schritt 49.3.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 49.3.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3 x}{4}$ .

$\frac{3 x}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.3.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16}$ .

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Schritt 49.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (4 x)}{16}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.3.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Schritt 49.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 49.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 49.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{2 (x)}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 49.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (4 x)}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 49.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 49.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{2 (2)} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.4.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{2 (2)} (2 (x)) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.4.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{2 \cdot 2} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.4.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.4.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.4.3.4

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 49.4.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.4.3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 49.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x + \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 49.6

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 49.7

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 49.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot 2 + x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 49.9

Addiere $x \cdot 2$ und $x$ .

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Schritt 49.9.1

Stelle $x$ und $2$ um.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot x + x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 49.9.2

Addiere $2 \cdot x$ und $x$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 \cdot x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 49.10

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2}$ .

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Schritt 49.10.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 49.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{4} + C$

Schritt 50

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{8} x + \frac{1}{32} \sin (4 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{4} (\frac{3}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) - \sin (2 x)) + C$

Schritt 51

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{8} x + \frac{1}{32} \sin (4 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{4} (\frac{3}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) - \sin (2 x)) + C$