Analysis Beispiele

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 x^{2} + x$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{8}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ ein.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Schritt 2

Setze $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ für $2 x^{2} + x$ ein in der Gleichung $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9$

Schritt 3

Bringe $- \frac{1}{8}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{8}$ auf beiden Seiten.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9 + \frac{1}{8}$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 y^{2} + y$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Schritt 4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{8}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Schritt 4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ ein.

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Schritt 5

Setze $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ für $2 y^{2} + y$ ein in der Gleichung $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8}$

Schritt 6

Bringe $- \frac{1}{8}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{8}$ auf beiden Seiten.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Schritt 7

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 z^{2} + z$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Schritt 7.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 7.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Schritt 7.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 7.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Schritt 7.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{8}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Schritt 7.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ ein.

$2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Schritt 8

Setze $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ für $2 z^{2} + z$ ein in der Gleichung $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Schritt 9

Bringe $- \frac{1}{8}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{8}$ auf beiden Seiten.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Schritt 10

Vereinfache $9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1 + 1 + 1}{8}$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Addiere $1$ und $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{2 + 1}{8}$

Schritt 10.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{3}{8}$

Schritt 10.3

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

Schritt 10.4

Kombiniere $9$ und $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

Schritt 10.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8 + 3}{8}$

Schritt 10.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.1

Mutltipliziere $9$ mit $8$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{72 + 3}{8}$

Schritt 10.6.2

Addiere $72$ und $3$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{75}{8}$

Schritt 11