Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ als $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $\sec (x) \sec (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.3.1.1.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $\tan (x) \tan (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.2.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.3.1.2.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

Schritt 1.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

Schritt 1.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Schritt 1.3.2

Stelle die Faktoren von $\tan (x) \sec (x)$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Schritt 1.3.3

Addiere $\sec (x) \tan (x)$ und $\sec (x) \tan (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

Schritt 3

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

Schritt 5

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

Schritt 6

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - 1 d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 9

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x]_{0}^{\frac{π}{6}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Kombiniere $- x]_{0}^{\frac{π}{6}}$ und $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ .

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ und $- x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ .

$2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \tan (x) - x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Schritt 10.1.3

Addiere $\tan (x)$ und $\tan (x)$ .

$2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x + 2 \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Schritt 10.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Berechne $\sec (x)$ bei $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$2 ((\sec (\frac{π}{6})) - \sec (0)) + - x + 2 \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Schritt 10.2.2

Berechne $- x + 2 \tan (x)$ bei $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$2 ((\sec (\frac{π}{6})) - \sec (0)) + (- \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6})) - (- 0 + 2 \tan (0))$

Schritt 10.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - (0 + 2 \tan (0))$

Schritt 10.2.3.2

Addiere $0$ und $2 \tan (0)$ .

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - (2 \tan (0))$

Schritt 10.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

Schritt 10.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{6})$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

Schritt 10.3.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

Schritt 10.3.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \tan (0)$

Schritt 10.3.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

Schritt 10.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

Schritt 10.3.6

Um $2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

Schritt 10.3.7

Kombiniere $2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1)$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot 6}{6} - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

Schritt 10.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot 6 - π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

Schritt 10.3.9

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

Schritt 10.3.10

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

Schritt 10.3.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 0$

Schritt 10.3.12

Addiere $\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ und $0$ .

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$0.94050283 \dots$