Analysis Beispiele

$\frac{x^{3}}{5 + x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 5 + x^{3}$ .

$\frac{(5 + x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [5 + x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(5 + x^{3}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [5 + x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $5 + x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [5 + x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} (3 x^{2})}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 x^{3} x^{2}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 (x^{2} x^{3})}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 x^{2 + 3}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 \cdot 5 + 3 x^{3}) x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 5 x^{2} + 3 x^{3} x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 x^{3} x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 (x^{2} x^{3}) - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 x^{2} + 3 x^{2 + 3} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 x^{5} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $15 x^{2} + 3 x^{5} - 3 x^{5}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $3 x^{5}$ von $3 x^{5}$ .

$\frac{15 x^{2} + 0}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $15 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{15 x^{2}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{15 x^{2}}{{(x^{3} + 5)}^{2}}$