Analysis Beispiele

${(3 x + y)}^{5} = 4 y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(3 x + y)}^{5}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = 3 x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + y$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y')$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$12 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y') = 12 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y')$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y') = 12 y^{2} y'$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y') = 12 y^{2} y'$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 {(3 x + y)}^{4} \cdot 3 + 5 {(3 x + y)}^{4} y' = 12 y^{2} y'$

Schritt 5.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 {(3 x + y)}^{4} + 5 {(3 x + y)}^{4} y' = 12 y^{2} y'$

Schritt 5.1.4.2

Stelle die Faktoren in $15 {(3 x + y)}^{4} + 5 {(3 x + y)}^{4} y'$ um.

$15 {(3 x + y)}^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} = 12 y^{2} y'$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $12 y^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$15 {(3 x + y)}^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$15 ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.2.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$15 (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$15 (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.3

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$15 (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$15 (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.5

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.6

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (3^{2} x^{2}) y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (9 x^{2}) y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.8

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$15 (81 x^{4}) + 15 (108 x^{3} y) + 15 (54 x^{2} y^{2}) + 15 (12 x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.4.1

Mutltipliziere $81$ mit $15$ .

$1215 x^{4} + 15 (108 x^{3} y) + 15 (54 x^{2} y^{2}) + 15 (12 x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.4.2

Mutltipliziere $108$ mit $15$ .

$1215 x^{4} + 1620 (x^{3} y) + 15 (54 x^{2} y^{2}) + 15 (12 x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.4.3

Mutltipliziere $54$ mit $15$ .

$1215 x^{4} + 1620 (x^{3} y) + 810 (x^{2} y^{2}) + 15 (12 x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.4.4

Mutltipliziere $12$ mit $15$ .

$1215 x^{4} + 1620 (x^{3} y) + 810 (x^{2} y^{2}) + 180 (x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.5

Entferne die Klammern.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.6

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.7.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.3

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.5

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.6

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (3^{2} x^{2}) y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (9 x^{2}) y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.8

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.9

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4}) + 5 y' (108 x^{3} y) + 5 y' (54 x^{2} y^{2}) + 5 y' (12 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.9

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.9.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 \cdot 81 y' x^{4} + 5 y' (108 x^{3} y) + 5 y' (54 x^{2} y^{2}) + 5 y' (12 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.9.2

Mutltipliziere $108$ mit $5$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 \cdot 81 y' x^{4} + 540 y' (x^{3} y) + 5 y' (54 x^{2} y^{2}) + 5 y' (12 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.9.3

Mutltipliziere $54$ mit $5$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 \cdot 81 y' x^{4} + 540 y' (x^{3} y) + 270 y' (x^{2} y^{2}) + 5 y' (12 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.9.4

Mutltipliziere $12$ mit $5$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 \cdot 81 y' x^{4} + 540 y' (x^{3} y) + 270 y' (x^{2} y^{2}) + 60 y' (x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.10

Mutltipliziere $5$ mit $81$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $1215 x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $1620 x^{3} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $810 x^{2} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$180 x y^{3} + 15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $180 x y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3}$

Schritt 5.3.5

Subtrahiere $15 y^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $405 y' x^{4}$ heraus.

$y' (405 x^{4}) + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $540 y' x^{3} y$ heraus.

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $270 y' x^{2} y^{2}$ heraus.

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $60 y' x y^{3}$ heraus.

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $5 y' y^{4}$ heraus.

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Schritt 5.4.6

Faktorisiere $y'$ aus $- 12 y^{2} y'$ heraus.

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Schritt 5.4.7

Faktorisiere $y'$ aus $y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y)$ heraus.

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Schritt 5.4.8

Faktorisiere $y'$ aus $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2})$ heraus.

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Schritt 5.4.9

Faktorisiere $y'$ aus $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3})$ heraus.

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Schritt 5.4.10

Faktorisiere $y'$ aus $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3}) + y' (5 y^{4})$ heraus.

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Schritt 5.4.11

Faktorisiere $y'$ aus $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2})$ heraus.

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$ durch $405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

$\frac{y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} = \frac{- 1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{(1215) x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{(1620) x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{(810) x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{(180) x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Faktorisiere $405 x^{3}$ aus $- 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $405 x^{3}$ aus $- 1215 x^{4}$ heraus.

$y' = \frac{405 x^{3} (- 3 x) - 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.2

Faktorisiere $405 x^{3}$ aus $- 1620 x^{3} y$ heraus.

$y' = \frac{405 x^{3} (- 3 x) + 405 x^{3} (- 4 y)}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.3

Faktorisiere $405 x^{3}$ aus $405 x^{3} (- 3 x) + 405 x^{3} (- 4 y)$ heraus.

$y' = \frac{405 x^{3} (- 3 x - 4 y)}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{405 x^{3} (- 3 x - 4 y) - 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.3.2.1

Faktorisiere $405 x^{2}$ aus $405 x^{3} (- 3 x - 4 y) - 810 x^{2} y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.5.3.2.1.1

Faktorisiere $405 x^{2}$ aus $405 x^{3} (- 3 x - 4 y)$ heraus.

$y' = \frac{405 x^{2} (x (- 3 x - 4 y)) - 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.1.2

Faktorisiere $405 x^{2}$ aus $- 810 x^{2} y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{405 x^{2} (x (- 3 x - 4 y)) + 405 x^{2} (- 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.1.3

Faktorisiere $405 x^{2}$ aus $405 x^{2} (x (- 3 x - 4 y)) + 405 x^{2} (- 2 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{405 x^{2} (x (- 3 x - 4 y) - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{405 x^{2} (x (- 3 x) + x (- 4 y) - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 x \cdot x + x (- 4 y) - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 x \cdot x - 4 x y - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.2.5.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 (x \cdot x) - 4 x y - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2}) - 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.3.4.1

Faktorisiere $45 x$ aus $405 x^{2} (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2}) - 180 x y^{3}$ heraus.

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Schritt 5.5.3.4.1.1

Faktorisiere $45 x$ aus $405 x^{2} (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{45 x (9 x (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})) - 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.1.2

Faktorisiere $45 x$ aus $- 180 x y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{45 x (9 x (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})) + 45 x (- 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.1.3

Faktorisiere $45 x$ aus $45 x (9 x (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})) + 45 x (- 4 y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{45 x (9 x (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{45 x (9 x (- 3 x^{2}) + 9 x (- 4 x y) + 9 x (- 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.4.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 9 x (- 4 x y) + 9 x (- 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.4.3.2.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 9 (x \cdot x) (- 4 y) + 9 x (- 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 x (- 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.4.4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.4.4.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 (x^{2} x) + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.4.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x^{3} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} + 9 \cdot - 4 x^{2} y + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4.4

Mutltipliziere $9$ mit $- 4$ .

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4.5

Mutltipliziere $9$ mit $- 2$ .

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3}) - 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.6.1

Faktorisiere $15$ aus $45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3}) - 15 y^{4}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.6.1.1

Faktorisiere $15$ aus $45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{15 (3 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})) - 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.1.2

Faktorisiere $15$ aus $- 15 y^{4}$ heraus.

$y' = \frac{15 (3 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})) + 15 (- y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.1.3

Faktorisiere $15$ aus $15 (3 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})) + 15 (- y^{4})$ heraus.

$y' = \frac{15 (3 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{15 (3 x (- 27 x^{3}) + 3 x (- 36 x^{2} y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.6.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x (- 36 x^{2} y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.6.3.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 (x^{2} x) (- 36 y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.3.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.6.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 (x^{2} x^{1}) (- 36 y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{2 + 1} (- 36 y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.3.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.3.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.6.3.3.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 (x \cdot x) (- 18 y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.6.4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.6.4.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 (x^{3} x) + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.1.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.6.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 (x^{3} x^{1}) + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x^{3 + 1} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x^{4} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 27$ .

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} + 3 \cdot - 36 x^{3} y + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 36$ .

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} - 108 x^{3} y + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} - 108 x^{3} y + 3 \cdot - 18 x^{2} y^{2} + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 18$ .

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} - 108 x^{3} y - 54 x^{2} y^{2} + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} - 108 x^{3} y - 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 81 x^{4}$ heraus.

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4}) - 108 x^{3} y - 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 108 x^{3} y$ heraus.

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4}) - (108 x^{3} y) - 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (81 x^{4}) - (108 x^{3} y)$ heraus.

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y) - 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 54 x^{2} y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y) - (54 x^{2} y^{2}) - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (81 x^{4} + 108 x^{3} y) - (54 x^{2} y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2}) - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 12 x y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2}) - (12 x y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2}) - (12 x y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{4}$ heraus.

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3}) - (y^{4}))}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3}) - (y^{4})$ heraus.

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}))}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.3.7.10.1

Schreibe $- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4})$ als $- 1 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4})$ um.

$y' = \frac{15 (- 1 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}))}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.10.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$