Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x^{2} + 2 x + 11}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{2 x + 3}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(2 x + 3) (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 3$ .

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 4$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere $2 x^{2} + 2 x + 11$ durch $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 3$ .

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Schritt 1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = \frac{A (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.6.1.2

Dividiere $(A) (x^{2} + 4)$ durch $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = (A) (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.6.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $A$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 4$ .

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Schritt 1.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.6.4.2

Dividiere $(B x + C) (2 x + 3)$ durch $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (2 x + 3)$

Schritt 1.1.6.5

Multipliziere $(B x + C) (2 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x + 3) + C (2 x + 3)$

Schritt 1.1.6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x) + B x \cdot 3 + C (2 x + 3)$

Schritt 1.1.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x) + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Schritt 1.1.6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x \cdot x + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Schritt 1.1.6.6.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.6.2.1

Bewege $x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B (x \cdot x) + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Schritt 1.1.6.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Schritt 1.1.6.6.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $B x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 \cdot (B x) + C (2 x) + C \cdot 3$

Schritt 1.1.6.6.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 B x + 2 C x + C \cdot 3$

Schritt 1.1.6.6.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $C$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 B x + 2 C x + 3 C$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.7.1

Bewege $B$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 x^{2} B + 3 B x + 2 C x + 3 C$

Schritt 1.1.7.2

Bewege $B$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 x^{2} B + 3 x B + 2 C x + 3 C$

Schritt 1.1.7.3

Bewege $4 A$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 2 x^{2} B + 3 x B + 2 C x + 4 A + 3 C$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = A + 2 B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$11 = 4 A + 3 C$

Schritt 1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$2 = A + 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$2 = A + 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Löse in $2 = A + 2 B$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + 2 B = 2$ um.

$A + 2 B = 2$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Schritt 1.3.1.2

Subtrahiere $2 B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $2 - 2 B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $11 = 4 A + 3 C$ durch $2 - 2 B$ .

$11 = 4 (2 - 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$11 = 4 \cdot 2 + 4 (- 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$11 = 8 + 4 (- 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.3

Stelle $2$ und $- 2 B$ um.

$A = - 2 B + 2$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.4

Löse in $A = - 2 B + 2$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 B + 2 = A$ um.

$- 2 B + 2 = A$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 B = A - 2$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 B = A - 2$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 B = A - 2$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.4.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = - \frac{A}{2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.4.3.3.1.2

Dividiere $- 2$ durch $- 2$ .

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.5

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- \frac{A}{2} + 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.5.1

Ersetze alle $B$ in $11 = 8 - 8 B + 3 C$ durch $- \frac{A}{2} + 1$ .

$11 = 8 - 8 (- \frac{A}{2} + 1) + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.5.2.1

Vereinfache $8 - 8 (- \frac{A}{2} + 1) + 3 C$ .

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Schritt 1.3.5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$11 = 8 - 8 (- \frac{A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.5.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{A}{2}$ in den Zähler.

$11 = 8 - 8 \frac{- A}{2} - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.5.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$11 = 8 + 2 (- 4) (\frac{- A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.5.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$11 = 8 + 2 \cdot (- 4 \frac{- A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.5.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$11 = 8 - 4 (- A) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 4 (- A) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.5.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$11 = 8 + 4 A - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.5.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$11 = 8 + 4 A - 8 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 + 4 A - 8 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.5.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 + 4 A - 8 + 3 C$ .

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Schritt 1.3.5.2.1.2.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$11 = 4 A + 0 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.5.2.1.2.2

Addiere $4 A$ und $0$ .

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.5.3

Ersetze alle $B$ in $2 = 3 B + 2 C$ durch $- \frac{A}{2} + 1$ .

$2 = 3 (- \frac{A}{2} + 1) + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.5.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.5.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = 3 (- \frac{A}{2}) + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.5.4.1.2

Multipliziere $3 (- \frac{A}{2})$ .

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Schritt 1.3.5.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 = - 3 \frac{A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.5.4.1.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{A}{2}$ .

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.5.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.5.4.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.6

Löse in $2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$ nach $C$ auf.

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Schritt 1.3.6.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C = 2$ um.

$- \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C = 2$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.6.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.6.2.1

Addiere $\frac{3 A}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 + 2 C = 2 + \frac{3 A}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.6.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 C = 2 + \frac{3 A}{2} - 3$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.6.2.3

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$2 C = \frac{3 A}{2} - 1$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 C = \frac{3 A}{2} - 1$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 C = \frac{3 A}{2} - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 C = \frac{3 A}{2} - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 C}{2} = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.6.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$C = \frac{3 A}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.6.3.3.1.2

Multipliziere $\frac{3 A}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 A}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$C = \frac{3 A}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.6.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$C = \frac{3 A}{4} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.6.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.1

Ersetze alle $C$ in $11 = 4 A + 3 C$ durch $\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ .

$11 = 4 A + 3 (\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.2.1

Vereinfache $4 A + 3 (\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$11 = 4 A + 3 (\frac{3 A}{4}) + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.1.2

Multipliziere $3 \frac{3 A}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.2.1.1.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3 A}{4}$ .

$11 = 4 A + \frac{3 (3 A)}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.1.3

Multipliziere $3 (- \frac{1}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + \frac{- 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + \frac{- 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.2

Um $4 A$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$11 = 4 A \cdot \frac{4}{4} + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.2.1.3.1

Kombiniere $4 A$ und $\frac{4}{4}$ .

$11 = \frac{4 A \cdot 4}{4} + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$11 = \frac{4 A \cdot 4 + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{4 A \cdot 4 + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.7.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.2.1.4.1.1

Faktorisiere $A$ aus $4 A \cdot 4 + 9 A$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $A$ aus $4 A \cdot 4$ heraus.

$11 = \frac{A (4 \cdot 4) + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $A$ aus $9 A$ heraus.

$11 = \frac{A (4 \cdot 4) + A \cdot 9}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $A$ aus $A (4 \cdot 4) + A \cdot 9$ heraus.

$11 = \frac{A (4 \cdot 4 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{A (4 \cdot 4 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$11 = \frac{A (16 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.4.1.3

Addiere $16$ und $9$ .

$11 = \frac{A \cdot 25}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{A \cdot 25}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.7.2.1.4.2

Bringe $25$ auf die linke Seite von $A$ .

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8

Löse in $11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.3.8.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{25 A}{4} - \frac{3}{2} = 11$ um.

$\frac{25 A}{4} - \frac{3}{2} = 11$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.8.2.1

Addiere $\frac{3}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{25 A}{4} = 11 + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.2.2

Um $11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25 A}{4} = 11 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.2.3

Kombiniere $11$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{11 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 A}{4} = \frac{11 \cdot 2 + 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.8.2.5.1

Mutltipliziere $11$ mit $2$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{22 + 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.2.5.2

Addiere $22$ und $3$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.3.8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.8.4.1.1

Vereinfache $\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4}$ .

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Schritt 1.3.8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.8.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.8.4.1.1.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25 A$ heraus.

$\frac{1}{25} \cdot (25 (A)) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.8.4.2.1

Vereinfache $\frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$ .

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Schritt 1.3.8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.8.4.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$A = \frac{2 (2)}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \frac{2 \cdot 2}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 1.3.8.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.8.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.9

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.9.1

Ersetze alle $A$ in $C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ durch $2$ .

$C = \frac{3 (2)}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.9.2.1

Vereinfache $\frac{3 (2)}{4} - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.3.9.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$C = \frac{6}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.9.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 1.3.9.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$C = \frac{2 (3)}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.9.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.9.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$C = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.9.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$C = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.9.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.9.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{3 - 1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.9.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.9.2.1.4.1

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$C = \frac{2}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.9.2.1.4.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Schritt 1.3.9.3

Ersetze alle $A$ in $B = - \frac{A}{2} + 1$ durch $2$ .

$B = - \frac{2}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Schritt 1.3.9.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.9.4.1

Vereinfache $- \frac{2}{2} + 1$ .

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Schritt 1.3.9.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.9.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.9.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = - \frac{2}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Schritt 1.3.9.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$B = - 1 \cdot 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - 1 \cdot 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Schritt 1.3.9.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$B = - 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Schritt 1.3.9.4.1.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

Schritt 1.3.10

Liste alle Lösungen auf.

$B = 0, C = 1, A = 2$

Schritt 1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{2}{2 x + 3} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{2}{2 x + 3} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\int \frac{2}{2 x + 3} + \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2}{2 x + 3} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{2 x + 3} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 x + 3$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Stelle $x^{2}$ und $4$ um.

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 9.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\ln (| u |) + C + \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| u |) + C + \frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$\ln (| u |) + \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 3$ .

$\ln (| 2 x + 3 |) + \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$