Analysis Beispiele

$\int_{0}^{4} {(\sqrt{x})}^{2} d x$

Schritt 1

Schreibe ${(\sqrt{x})}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{4} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Schritt 1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Schritt 1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int_{0}^{4} x^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{4} x^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{4} x^{1} d x$

Schritt 1.5

Vereinfache.

$\int_{0}^{4} x d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $4$ und $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $16$ .

$\frac{16}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.3.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$8 + 0 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$8 + 0$

Schritt 3.2.7

Addiere $8$ und $0$ .

$8$

Schritt 4