Analysis Beispiele

$\frac{1}{\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}}$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}$ als ${(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}$ als ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{5}}]$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{5}}$ und $g (x) = 8 x^{2} - 2$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x^{2} - 2$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Schritt 7.2

Kombiniere ${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ und $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Schritt 7.3

Bringe ${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 9

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{2}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 12

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + 0)$

Schritt 13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.1

Addiere $16 x$ und $0$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x)$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$- 16 \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

Schritt 13.3

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

Schritt 13.4

Kombiniere $\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ und $x$ .

$\frac{- 16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

Schritt 13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$