Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{64}}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{64}{64}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{64}{64} - \frac{1}{64}}$

Schritt 1.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{64}{64}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64}{64} - \frac{1}{64}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64 - 1}{64}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} (x + 8 x^{2}) \frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $x + 8 x^{2}$ mit $\frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{(x + 8 x^{2}) \cdot 64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $64$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{8}$ annähert.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.2

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- \frac{1}{8}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{8}$ für $x$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{8}$ für $x$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- \frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.5.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{8}$ an.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{8}$ an.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ mit $1$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.1.2.5.1.4.1

Faktorisiere $8$ aus $8^{2}$ heraus.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1^{2}}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$64 \frac{\frac{- 1 + 1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$64 \frac{\frac{0}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.4

Dividiere $0$ durch $8$ .

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{8}$ annähert.

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Ziehe den Term $64$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$64 \frac{0}{64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Schritt 3.1.3.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \frac{1}{8}$ annähert.

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{8}$ für $x$ .

$64 \frac{0}{64 {(- \frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.3.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{8}$ an.

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{8}$ an.

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$64 \frac{0}{64 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ mit $1$ .

$64 \frac{0}{64 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$64 \frac{0}{64 \frac{1}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 3.1.3.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$64 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$64 \frac{0}{1 - 1}$

Schritt 3.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$64 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$64 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$64 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$64 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 8 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Schritt 3.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{2}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Schritt 3.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Schritt 3.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 16 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Schritt 3.3.5

Stelle die Terme um.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Schritt 3.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} \cdot 64 - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64]$ .

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Schritt 3.3.7.1

Bringe $64$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [64 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.2

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64 x^{2}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + 0}$

Schritt 3.3.9

Addiere $128 x$ und $0$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $\frac{1}{128}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$64 (\frac{1}{128}) lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{x}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{8}$ annähert.

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{8}$ annähert.

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \frac{1}{8}$ annähert.

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- \frac{1}{8}$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{8}$ für $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{8}$ für $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $64$ aus $128$ heraus.

$64 \frac{1}{64 (2)} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 \frac{1}{64 \cdot 2} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} ((16 (- \frac{1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

Schritt 6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 6.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$\frac{1}{2} ((16 (\frac{- 1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

Schritt 6.3.1.2

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$\frac{1}{2} ((8 (2) \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

Schritt 6.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} ((8 \cdot 2 \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

Schritt 6.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} ((2 \cdot - 1 + 1) (- 1 \cdot 8))$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} ((- 2 + 1) (- 1 \cdot 8))$

Schritt 6.4

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} (- 1 (- 1 \cdot 8))$

Schritt 6.5

Multipliziere $- 1 (- 1 \cdot 8)$ .

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot - 8)$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Schritt 6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$4$