Analysis Beispiele

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arctan (4 x^{2} - 3))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \arctan (y)$ und $g (y) = 4 x^{2} - 3$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 3.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 3.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + 0)$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Addiere $8 x x'$ und $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x')$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (x x')$

Schritt 3.7.3

Kombiniere $x$ und $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x'$

Schritt 3.7.4

Kombiniere $\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ und $x'$ .

$\frac{x \cdot 8 x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 3.7.5

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{8 \cdot x x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Stelle die Terme um.

$\frac{8 x x'}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.8.2.1

Schreibe ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ als $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ um.

$\frac{8 x x'}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

Schritt 3.8.2.2

Multipliziere $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.8.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Schritt 3.8.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Schritt 3.8.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 3.8.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.8.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 3.8.2.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.8.2.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 3.8.2.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 3.8.2.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 3.8.2.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 3.8.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 3.8.2.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 3.8.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

Schritt 3.8.2.3.2

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

Schritt 3.8.2.4

Addiere $9$ und $1$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

Schritt 3.8.2.5

Faktorisiere $2$ aus $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ heraus.

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Schritt 3.8.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $16 x^{4}$ heraus.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

Schritt 3.8.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 24 x^{2}$ heraus.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

Schritt 3.8.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Schritt 3.8.2.5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ heraus.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Schritt 3.8.2.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ heraus.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Schritt 3.8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 3.8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x x'$ heraus.

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Schritt 3.8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Schritt 3.8.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$ um.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x x' = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ mit $1$ .

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ durch $4 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ durch $4 x$ .

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x^{4}$ heraus.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 (x)} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{2 x^{4}}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.5

Dividiere $2 x^{3}$ durch $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $4$ .

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Schritt 5.4.3.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 (x)} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.4.3.1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{5}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.4.2.5

Dividiere $- 3 x$ durch $1$ .

$x' = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$