Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{- 2} + 1 - \frac{3}{20} x^{6} + \frac{4}{9} x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} x^{- 2} + 1 - \frac{3}{20} x^{6} + \frac{4}{9} x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- \frac{1}{3} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{1}{3}) x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- 3}$ .

$\frac{2 x^{- 3}}{3} + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.2.6

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{6}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- \frac{3}{20}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{20} x^{6}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 - \frac{3}{20} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 - 6 (\frac{3}{20}) x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.4.4

Kombiniere $- 6$ und $\frac{3}{20}$ .

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 + \frac{- 6 \cdot 3}{20} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.4.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 + \frac{- 18}{20} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.4.6

Kombiniere $\frac{- 18}{20}$ und $x^{5}$ .

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 + \frac{- 18 x^{5}}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $20$ .

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Schritt 1.4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18 x^{5}$ heraus.

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 + \frac{2 (- 9 x^{5})}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 + \frac{2 (- 9 x^{5})}{2 (10)} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 + \frac{2 (- 9 x^{5})}{2 \cdot 10} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 + \frac{- 9 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 - \frac{9 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4}{9} x]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $\frac{4}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{9} x$ nach $x$ gleich $\frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 - \frac{9 x^{5}}{10} + \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 - \frac{9 x^{5}}{10} + \frac{4}{9} \cdot 1$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3 x^{3}} + 0 - \frac{9 x^{5}}{10} + \frac{4}{9}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Addiere $\frac{2}{3 x^{3}}$ und $0$ .

$\frac{2}{3 x^{3}} - \frac{9 x^{5}}{10} + \frac{4}{9}$

Schritt 1.6.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{9 x^{5}}{10} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{4}{9}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{9 x^{5}}{10} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{4}{9}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{5}}{10}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- \frac{9}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{9 x^{5}}{10}$ nach $x$ gleich $- \frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- \frac{9}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 (\frac{9}{10}) x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{9}{10}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $9$ .

$\frac{- 45}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $\frac{- 45}{10}$ und $x^{4}$ .

$\frac{- 45 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 45$ und $10$ .

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Schritt 2.2.7.1

Faktorisiere $5$ aus $- 45 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (- 9 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 (- 9 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- 9 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 9 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{3}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3 x^{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{- 6}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $\frac{- 6}{3}$ und $x^{- 4}$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{- 6 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.11

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{- 6}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 2.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{9 x^{4}}{2} + \frac{- 2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9 x^{4}}{2} - \frac{2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{9}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $\frac{4}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{9}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{9 x^{4}}{2} - \frac{2}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $- \frac{9 x^{4}}{2} - \frac{2}{x^{4}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{9 x^{4}}{2} - \frac{2}{x^{4}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{9 x^{4}}{2} - \frac{2}{x^{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{4}}{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- \frac{9}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{9 x^{4}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{9}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 (\frac{9}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{9}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$\frac{- 36}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $\frac{- 36}{2}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 36 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36$ und $2$ .

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Schritt 3.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- 18 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Schritt 3.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 18 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Schritt 3.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 18 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Schritt 3.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 18 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Schritt 3.2.7.2.4

Dividiere $- 18 x^{3}$ durch $1$ .

$- 18 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 18 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$- 18 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$- 18 x^{3} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 18 x^{3} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$- 18 x^{3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 18 x^{3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 x^{3} - 2 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 18 x^{3} - 2 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 18 x^{3} - 2 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Schritt 3.3.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$- 18 x^{3} - 2 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Schritt 3.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 18 x^{3} - 2 (- 4 x^{3 - 8})$

Schritt 3.3.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$- 18 x^{3} - 2 (- 4 x^{- 5})$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$- 18 x^{3} + 8 x^{- 5}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 x^{3} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f''' (x) = - 18 x^{3} + \frac{8}{x^{5}}$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 18 x^{3} + \frac{8}{x^{5}}$ .

$- 18 x^{3} + \frac{8}{x^{5}}$