Analysis Beispiele

$\int \frac{2}{{(6 - x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{{(6 - x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 6 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 6 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{- 1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int - \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 5.2

Bringe $u^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- 2 \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 5.3.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$- 2 \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 2 \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $- 2 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ als $- 2 (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ um.

$- 2 (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 2 \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 7.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 7.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $6 - x$ .

$\frac{4}{{(6 - x)}^{\frac{1}{2}}} + C$