Analysis Beispiele

$3^{4 - 11 x}$

Schritt 1

Schreibe $3^{4 - 11 x}$ als Funktion.

$f (x) = 3^{4 - 11 x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 3^{4 - 11 x} d x$

Schritt 4

Sei $u = 4 - 11 x$ . Dann ist $d u = - 11 d x$ , folglich $- \frac{1}{11} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 4 - 11 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $4 - 11 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 11 x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 11 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Schritt 4.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 11 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$0 - 11$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $11$ von $0$ .

$- 11$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 3^{u} \cdot \frac{1}{- 11} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int 3^{u} \cdot (- \frac{1}{11}) d u$

Schritt 5.2

Kombiniere $3^{u}$ und $\frac{1}{11}$ .

$\int - \frac{3^{u}}{11} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{3^{u}}{11} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{11}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{11}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{11} \int 3^{u} d u)$

Schritt 8

Das Integral von $3^{u}$ nach $u$ ist $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{1}{11} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- \frac{1}{11} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ als $- \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ um.

$- \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (3)}$ mit $\frac{1}{11}$ .

$- \frac{1}{\ln (3) \cdot 11} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 9.2.2

Bringe $11$ auf die linke Seite von $\ln (3)$ .

$- \frac{1}{11 \ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $4 - 11 x$ .

$- \frac{1}{11 \ln (3)} \cdot 3^{4 - 11 x} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 3^{4 - 11 x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{11 \ln (3)} \cdot 3^{4 - 11 x} + C$