Analysis Beispiele

${(x + y)}^{5} = y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{5}) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$5 {(x + y)}^{4} \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 {(x + y)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(x + y)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 {(x + y)}^{4} (1 + y')$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$5 {(x + y)}^{4} (1 + y') = 3 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $5 {(x + y)}^{4} (1 + y')$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 5 {(x + y)}^{4} (1 + y') = 3 y^{2} y'$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$5 {(x + y)}^{4} (1 + y') = 3 y^{2} y'$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 {(x + y)}^{4} \cdot 1 + 5 {(x + y)}^{4} y' = 3 y^{2} y'$

Schritt 5.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 {(x + y)}^{4} + 5 {(x + y)}^{4} y' = 3 y^{2} y'$

Schritt 5.1.4.2

Stelle die Faktoren in $5 {(x + y)}^{4} + 5 {(x + y)}^{4} y'$ um.

$5 {(x + y)}^{4} + 5 y' {(x + y)}^{4} = 3 y^{2} y'$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $3 y^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 {(x + y)}^{4} + 5 y' {(x + y)}^{4} - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(x + y)}^{4} - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3} y) + 5 (6 x^{2} y^{2}) + 5 (4 x y^{3}) + 5 y^{4} + 5 y' {(x + y)}^{4} - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 20 (x^{3} y) + 5 (6 x^{2} y^{2}) + 5 (4 x y^{3}) + 5 y^{4} + 5 y' {(x + y)}^{4} - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 20 (x^{3} y) + 30 (x^{2} y^{2}) + 5 (4 x y^{3}) + 5 y^{4} + 5 y' {(x + y)}^{4} - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 20 (x^{3} y) + 30 (x^{2} y^{2}) + 20 (x y^{3}) + 5 y^{4} + 5 y' {(x + y)}^{4} - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.4

Entferne die Klammern.

$5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} + 5 y' {(x + y)}^{4} - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.5

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} + 5 y' (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4}) - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} + 5 y' x^{4} + 5 y' (4 x^{3} y) + 5 y' (6 x^{2} y^{2}) + 5 y' (4 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.7

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} + 5 y' x^{4} + 20 y' (x^{3} y) + 5 y' (6 x^{2} y^{2}) + 5 y' (4 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} + 5 y' x^{4} + 20 y' (x^{3} y) + 30 y' (x^{2} y^{2}) + 5 y' (4 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} + 5 y' x^{4} + 20 y' (x^{3} y) + 30 y' (x^{2} y^{2}) + 20 y' (x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2.2.8

Entferne die Klammern.

$5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} + 5 y' x^{4} + 20 y' x^{3} y + 30 y' x^{2} y^{2} + 20 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $5 x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} + 5 y' x^{4} + 20 y' x^{3} y + 30 y' x^{2} y^{2} + 20 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = - 5 x^{4}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $20 x^{3} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} + 5 y' x^{4} + 20 y' x^{3} y + 30 y' x^{2} y^{2} + 20 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $30 x^{2} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x y^{3} + 5 y^{4} + 5 y' x^{4} + 20 y' x^{3} y + 30 y' x^{2} y^{2} + 20 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $20 x y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{4} + 5 y' x^{4} + 20 y' x^{3} y + 30 y' x^{2} y^{2} + 20 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3}$

Schritt 5.3.5

Subtrahiere $5 y^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y' x^{4} + 20 y' x^{3} y + 30 y' x^{2} y^{2} + 20 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $5 y' x^{4} + 20 y' x^{3} y + 30 y' x^{2} y^{2} + 20 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $5 y' x^{4}$ heraus.

$y' (5 x^{4}) + 20 y' x^{3} y + 30 y' x^{2} y^{2} + 20 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $20 y' x^{3} y$ heraus.

$y' (5 x^{4}) + y' (20 x^{3} y) + 30 y' x^{2} y^{2} + 20 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $30 y' x^{2} y^{2}$ heraus.

$y' (5 x^{4}) + y' (20 x^{3} y) + y' (30 x^{2} y^{2}) + 20 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $20 y' x y^{3}$ heraus.

$y' (5 x^{4}) + y' (20 x^{3} y) + y' (30 x^{2} y^{2}) + y' (20 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 3 y^{2} y' = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $5 y' y^{4}$ heraus.

$y' (5 x^{4}) + y' (20 x^{3} y) + y' (30 x^{2} y^{2}) + y' (20 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) - 3 y^{2} y' = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 5.4.6

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (5 x^{4}) + y' (20 x^{3} y) + y' (30 x^{2} y^{2}) + y' (20 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 3 y^{2}) = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 5.4.7

Faktorisiere $y'$ aus $y' (5 x^{4}) + y' (20 x^{3} y)$ heraus.

$y' (5 x^{4} + 20 x^{3} y) + y' (30 x^{2} y^{2}) + y' (20 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 3 y^{2}) = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 5.4.8

Faktorisiere $y'$ aus $y' (5 x^{4} + 20 x^{3} y) + y' (30 x^{2} y^{2})$ heraus.

$y' (5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2}) + y' (20 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 3 y^{2}) = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 5.4.9

Faktorisiere $y'$ aus $y' (5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2}) + y' (20 x y^{3})$ heraus.

$y' (5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 3 y^{2}) = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 5.4.10

Faktorisiere $y'$ aus $y' (5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3}) + y' (5 y^{4})$ heraus.

$y' (5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4}) + y' (- 3 y^{2}) = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 5.4.11

Faktorisiere $y'$ aus $y' (5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4}) + y' (- 3 y^{2})$ heraus.

$y' (5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}) = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}) = - 5 x^{4} - 20 x^{3} y - 30 x^{2} y^{2} - 20 x y^{3} - 5 y^{4}$ durch $5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

$\frac{y' (5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} = \frac{- 5 x^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 20 x^{3} y}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 30 x^{2} y^{2}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 5 x^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 20 x^{3} y}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 30 x^{2} y^{2}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{(5) x^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 20 x^{3} y}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 30 x^{2} y^{2}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 x^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{(20) x^{3} y}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 30 x^{2} y^{2}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 x^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x^{3} y}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{(30) x^{2} y^{2}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 x^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x^{3} y}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{30 x^{2} y^{2}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{(20) x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} + \frac{- 5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 x^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x^{3} y}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{30 x^{2} y^{2}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 5 x^{4} - 20 x^{3} y}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{30 x^{2} y^{2}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Faktorisiere $5 x^{3}$ aus $- 5 x^{4} - 20 x^{3} y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $5 x^{3}$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{3} (- x) - 20 x^{3} y}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{30 x^{2} y^{2}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.2

Faktorisiere $5 x^{3}$ aus $- 20 x^{3} y$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{3} (- x) + 5 x^{3} (- 4 y)}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{30 x^{2} y^{2}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.3

Faktorisiere $5 x^{3}$ aus $5 x^{3} (- x) + 5 x^{3} (- 4 y)$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{3} (- x - 4 y)}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{30 x^{2} y^{2}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{5 x^{3} (- x - 4 y) - 30 x^{2} y^{2}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.1

Faktorisiere $5 x^{2}$ aus $5 x^{3} (- x - 4 y) - 30 x^{2} y^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.1.1

Faktorisiere $5 x^{2}$ aus $5 x^{3} (- x - 4 y)$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{2} (x (- x - 4 y)) - 30 x^{2} y^{2}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.1.2

Faktorisiere $5 x^{2}$ aus $- 30 x^{2} y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{2} (x (- x - 4 y)) + 5 x^{2} (- 6 y^{2})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.1.3

Faktorisiere $5 x^{2}$ aus $5 x^{2} (x (- x - 4 y)) + 5 x^{2} (- 6 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{2} (x (- x - 4 y) - 6 y^{2})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{5 x^{2} (x (- x) + x (- 4 y) - 6 y^{2})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{5 x^{2} (- x \cdot x + x (- 4 y) - 6 y^{2})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{5 x^{2} (- x \cdot x - 4 x y - 6 y^{2})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.5.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{5 x^{2} (- (x \cdot x) - 4 x y - 6 y^{2})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{2} - 4 x y - 6 y^{2})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{2} - 4 x y - 6 y^{2}) - 20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.4.1

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x^{2} (- x^{2} - 4 x y - 6 y^{2}) - 20 x y^{3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.4.1.1

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x^{2} (- x^{2} - 4 x y - 6 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{5 x (x (- x^{2} - 4 x y - 6 y^{2})) - 20 x y^{3}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.1.2

Faktorisiere $5 x$ aus $- 20 x y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{5 x (x (- x^{2} - 4 x y - 6 y^{2})) + 5 x (- 4 y^{3})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.1.3

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (x (- x^{2} - 4 x y - 6 y^{2})) + 5 x (- 4 y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{5 x (x (- x^{2} - 4 x y - 6 y^{2}) - 4 y^{3})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{5 x (x (- x^{2}) + x (- 4 x y) + x (- 6 y^{2}) - 4 y^{3})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.4.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{5 x (- x \cdot x^{2} + x (- 4 x y) + x (- 6 y^{2}) - 4 y^{3})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{5 x (- x \cdot x^{2} - 4 x (x y) + x (- 6 y^{2}) - 4 y^{3})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{5 x (- x \cdot x^{2} - 4 x (x y) - 6 x y^{2} - 4 y^{3})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.4.4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.4.4.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$y' = \frac{5 x (- (x^{2} x) - 4 x (x y) - 6 x y^{2} - 4 y^{3})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.4.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{5 x (- (x^{2} x^{1}) - 4 x (x y) - 6 x y^{2} - 4 y^{3})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{5 x (- x^{2 + 1} - 4 x (x y) - 6 x y^{2} - 4 y^{3})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = \frac{5 x (- x^{3} - 4 x (x y) - 6 x y^{2} - 4 y^{3})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.4.4.2.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{5 x (- x^{3} - 4 (x \cdot x) y - 6 x y^{2} - 4 y^{3})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{5 x (- x^{3} - 4 x^{2} y - 6 x y^{2} - 4 y^{3})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}} - \frac{5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{5 x (- x^{3} - 4 x^{2} y - 6 x y^{2} - 4 y^{3}) - 5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.6.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x (- x^{3} - 4 x^{2} y - 6 x y^{2} - 4 y^{3}) - 5 y^{4}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.6.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x (- x^{3} - 4 x^{2} y - 6 x y^{2} - 4 y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{5 (x (- x^{3} - 4 x^{2} y - 6 x y^{2} - 4 y^{3})) - 5 y^{4}}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y^{4}$ heraus.

$y' = \frac{5 (x (- x^{3} - 4 x^{2} y - 6 x y^{2} - 4 y^{3})) + 5 (- y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x (- x^{3} - 4 x^{2} y - 6 x y^{2} - 4 y^{3})) + 5 (- y^{4})$ heraus.

$y' = \frac{5 (x (- x^{3} - 4 x^{2} y - 6 x y^{2} - 4 y^{3}) - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{5 (x (- x^{3}) + x (- 4 x^{2} y) + x (- 6 x y^{2}) + x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.6.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{5 (- x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2} y) + x (- 6 x y^{2}) + x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{5 (- x \cdot x^{3} - 4 x (x^{2} y) + x (- 6 x y^{2}) + x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{5 (- x \cdot x^{3} - 4 x (x^{2} y) - 6 x (x y^{2}) + x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{5 (- x \cdot x^{3} - 4 x (x^{2} y) - 6 x (x y^{2}) - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.6.4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.6.4.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$y' = \frac{5 (- (x^{3} x) - 4 x (x^{2} y) - 6 x (x y^{2}) - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.1.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 5.5.3.6.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{5 (- (x^{3} x^{1}) - 4 x (x^{2} y) - 6 x (x y^{2}) - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{5 (- x^{3 + 1} - 4 x (x^{2} y) - 6 x (x y^{2}) - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$y' = \frac{5 (- x^{4} - 4 x (x^{2} y) - 6 x (x y^{2}) - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.6.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$y' = \frac{5 (- x^{4} - 4 (x^{2} x) y - 6 x (x y^{2}) - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.5.3.6.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{5 (- x^{4} - 4 (x^{2} x^{1}) y - 6 x (x y^{2}) - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{5 (- x^{4} - 4 x^{2 + 1} y - 6 x (x y^{2}) - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = \frac{5 (- x^{4} - 4 x^{3} y - 6 x (x y^{2}) - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.6.4.3.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{5 (- x^{4} - 4 x^{3} y - 6 (x \cdot x) y^{2} - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.4.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{5 (- x^{4} - 4 x^{3} y - 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.5.3.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$y' = \frac{5 (- (x^{4}) - 4 x^{3} y - 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{3} y$ heraus.

$y' = \frac{5 (- (x^{4}) - (4 x^{3} y) - 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - (4 x^{3} y)$ heraus.

$y' = \frac{5 (- (x^{4} + 4 x^{3} y) - 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 x^{2} y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{5 (- (x^{4} + 4 x^{3} y) - (6 x^{2} y^{2}) - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} + 4 x^{3} y) - (6 x^{2} y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{5 (- (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2}) - 4 x y^{3} - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{5 (- (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2}) - (4 x y^{3}) - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2}) - (4 x y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{5 (- (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3}) - y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{4}$ heraus.

$y' = \frac{5 (- (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3}) - (y^{4}))}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3}) - (y^{4})$ heraus.

$y' = \frac{5 (- (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4}))}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.3.7.10.1

Schreibe $- (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4})$ als $- 1 (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4})$ um.

$y' = \frac{5 (- 1 (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4}))}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.7.10.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 (x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4})}{5 x^{4} + 20 x^{3} y + 30 x^{2} y^{2} + 20 x y^{3} + 5 y^{4} - 3 y^{2}}$