Analysis Beispiele

$\int \frac{2 t^{3} + 1}{{(t^{4} + 2 t)}^{3}} d t$

Schritt 1

Sei $u = t^{4} + 2 t$ . Dann ist $d u = (4 t^{3} + 2) d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = (2 t^{3} + 1) d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = t^{4} + 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $t^{4} + 2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 2 t]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{4} + 2 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 t^{3} + 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 t^{3} + 2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ als $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ um.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Schritt 6.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4 u^{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $t^{4} + 2 t$ .

$- \frac{1}{4 {(t^{4} + 2 t)}^{2}} + C$