Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{4^{2 a x}} d x$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $4^{2 a x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(4^{2 a x})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(4^{2 a x})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 \cdot 4^{2 a x \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int 1 \cdot 4^{- 2 a x} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $4^{- 2 a x}$ mit $1$ .

$\int 4^{- 2 a x} d x$

Schritt 2

Sei $u = - 2 a x$ . Dann ist $d u = - 2 a d x$ , folglich $\frac{1}{- 2 a} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = - 2 a x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $- 2 a x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 a x]$

Schritt 2.1.2

Da $- 2 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 a x$ nach $x$ gleich $- 2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 a \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 a \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 a$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 4^{u} \cdot \frac{1}{- 2 a} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int 4^{u} \cdot (- \frac{1}{2 a}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $4^{u}$ und $\frac{1}{2 a}$ .

$\int - \frac{4^{u}}{2 a} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{4^{u}}{2 a} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2 a}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2 a}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2 a} \int 4^{u} d u)$

Schritt 6

Das Integral von $4^{u}$ nach $u$ ist $\frac{4^{u}}{\ln (4)}$ .

$- \frac{1}{2 a} (\frac{4^{u}}{\ln (4)} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe $- \frac{1}{2 a} (\frac{4^{u}}{\ln (4)} + C)$ als $- \frac{1}{2 a} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u} + C$ um.

$- \frac{1}{2 a} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (4)}$ mit $\frac{1}{2 a}$ .

$- \frac{1}{\ln (4) (2 a)} \cdot 4^{u} + C$

Schritt 7.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (4)$ .

$- \frac{1}{2 \cdot \ln (4) a} \cdot 4^{u} + C$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $4^{u}$ und $\frac{1}{2 \ln (4) a}$ .

$- \frac{4^{u}}{2 \ln (4) a} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $- 2 a x$ .

$- \frac{4^{- 2 a x}}{2 \ln (4) a} + C$