Analysis Beispiele

$\int \frac{9}{θ^{2}} \cos (\frac{9}{θ}) d θ$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{9}{θ^{2}}$ und $\cos (\frac{9}{θ})$ .

$\int \frac{9 \cos (\frac{9}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Schritt 2

Da $9$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int \frac{\cos (\frac{9}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Schritt 3

Sei $u = \frac{9}{θ}$ . Dann ist $d u = - \frac{9}{θ^{2}} d θ$ , folglich $1 d u = - \frac{9}{θ^{2}} d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Es sei $u = \frac{9}{θ}$ . Ermittle $\frac{d u}{d θ}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Differenziere $\frac{9}{θ}$ .

$\frac{d}{d θ} [\frac{9}{θ}]$

Schritt 3.1.2

Da $9$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9}{θ}$ nach $θ$ gleich $9 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$ .

$9 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Schritt 3.1.3

Schreibe $\frac{1}{θ}$ als $θ^{- 1}$ um.

$9 \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$9 (- θ^{- 2})$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 θ^{- 2}$

Schritt 3.1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{θ^{2}}$

Schritt 3.1.6.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.6.2.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$\frac{- 9}{θ^{2}}$

Schritt 3.1.6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{θ^{2}}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$9 \int - \frac{1}{9} \cos (u) d u$

Schritt 4

Da $- \frac{1}{9}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- \frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$9 (- \frac{1}{9} \int \cos (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 (\frac{1}{9} \int \cos (u) d u)$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $- 9$ .

$\frac{- 9}{9} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{9 \cdot - 1}{9} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 (1)} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.3.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \int \cos (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$- (\sin (u) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$- \sin (u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $\frac{9}{θ}$ .

$- \sin (\frac{9}{θ}) + C$