Analysis Beispiele

$\int 2^{4 x^{2}} x d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x^{2}$ . Dann ist $d u = 8 x d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x)$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 2^{u} \frac{1}{8} d u$

Schritt 2

Kombiniere $2^{u}$ und $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{2^{u}}{8} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} \int 2^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $2^{u}$ nach $u$ ist $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{8} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ als $\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ um.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{8 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{8 \ln (2)} \cdot 2^{4 x^{2}} + C$