Analysis Beispiele

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x + 2)}^{2} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x + 2)}^{2} x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int {(x + 2)}^{2} x^{- 4} d x$

Schritt 5

Sei $u_{1} = x + 2$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 5.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int {u_{1}}^{2} {(u_{1} - 2)}^{- 4} d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = u_{1} - 2$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = u_{1} - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $u_{1} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 2]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} - 2$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Schritt 6.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int {(u_{2} + 2)}^{2} {u_{2}}^{- 4} d u_{2}$

Schritt 7

Sei $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Dann ist $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Schritt 7.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\int {(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 5} \frac{1}{2} d u_{3}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 5} d u_{3}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{2}$ und ${\sqrt{u_{3}}}^{- 5}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 5}}{2} d u_{3}$

Schritt 8.3

Bringe ${\sqrt{u_{3}}}^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{5}} d u_{3}$

Schritt 8.4

Schreibe ${\sqrt{u_{3}}}^{5}$ als $\sqrt{{u_{3}}^{5}}$ um.

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{5}}} d u_{3}$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{5}}} d u_{3}$

Schritt 10

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{3}}$ als ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{5}}} d u_{3}$

Schritt 10.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{u_{3}}^{5}}$ als ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}} d u_{3}$

Schritt 10.3

Bringe ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Schritt 10.4

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{3}}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 10.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Schritt 10.4.2

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 10.4.2.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Schritt 10.4.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 5}{2}} d u_{3}$

Schritt 10.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}$ als $({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)$ um.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2) + 2 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.8

Stelle ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ und $2$ um.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 11.12.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.13

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.14

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.16

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.18

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1 - 5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.21

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{- 4}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.22

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 11.22.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.22.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.22.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.22.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.22.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{- 2}{1}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.22.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.23

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{1 - 5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.25

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{- 4}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 11.26.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.26.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{- 2}{1}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.26.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.27

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.28

Addiere $2 {u_{3}}^{- 2}$ und $2 {u_{3}}^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 4 {u_{3}}^{- 2} + 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.29

Bewege ${u_{3}}^{\frac{- 3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 4 {u_{3}}^{- 2} + 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int 4 {u_{3}}^{- 2} + 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 13

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int 4 {u_{3}}^{- 2} d u_{3} + \int 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Schritt 14

Da $4$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (4 \int {u_{3}}^{- 2} d u_{3} + \int 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Schritt 15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{- 2}$ nach $u_{3}$ gleich $- {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + \int 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Schritt 16

Da $4$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 \int {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Schritt 17

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{- \frac{5}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $- \frac{2}{3} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{2}{3} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Kombiniere ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{{u_{3}}^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Schritt 18.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{2 \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Schritt 18.3

Bringe ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{2}{3 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Schritt 19

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{2}{3 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}} + C) - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C)$

Schritt 20

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{u_{3}} - \frac{8}{3 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 21

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 21.1

Ersetze alle $u_{3}$ durch ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{{u_{2}}^{2}} - \frac{8}{3 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 21.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} - 2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{{(u_{1} - 2)}^{2}} - \frac{8}{3 {({(u_{1} - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(u_{1} - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 21.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{{(x + 2 - 2)}^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 22

Vereinfache.

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Schritt 22.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \frac{4}{{(x + 2 - 2)}^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 22.1.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{{(x + 0)}^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 22.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 22.1.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 0)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 22.1.4

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 22.1.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 22.1.6

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 22.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 22.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 22.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 22.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 22.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 22.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 22.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 22.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

Schritt 22.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

Schritt 22.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{x^{1}}) + C$

Schritt 22.2.2.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{x}) + C$

Schritt 22.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Schritt 22.4

Vereinfache.

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Schritt 22.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.4.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4}{x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Schritt 22.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 2)}{x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Schritt 22.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Schritt 22.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Schritt 22.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{3 x^{3}}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 8}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Schritt 22.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 4)}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Schritt 22.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Schritt 22.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Schritt 22.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x} + C$

Schritt 22.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{x} + C$

Schritt 22.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{x} + C$

Schritt 22.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{- 1}{x} + C$

Schritt 22.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 22.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{- 1}{x} + C$

Schritt 22.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{- 1}{x} + C$

Schritt 22.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{3}} - \frac{1}{x} + C$

Schritt 23

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{3}} - \frac{1}{x} + C$