Analysis Beispiele

$y = \frac{\sin (2 x)}{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (2 x)}{4})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sin (2 x)}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{1}{4} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{4} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (2 x)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (2 x)}{4}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos (2 x)$ heraus.

$\frac{2 (\cos (2 x))}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} \cdot 1$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $\frac{\cos (2 x)}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{\cos (2 x)}{2}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (2 x)}{2}$