Analysis Beispiele

$\sqrt{x + 2 y} = 5 y$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2 y}$ als ${(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5 y)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 2 y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2 y$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 3.6.3

Bringe ${(x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

Schritt 3.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.10

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 y')$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 y')$ um.

$(1 + 2 y') \frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $1 + 2 y'$ mit $\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 y'$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = 5 y'$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten mit $2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $\frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 2 y'}{{(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + 2 y'}{{(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + 2 y' = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.4

Stelle $1$ und $2 y'$ um.

$2 y' + 1 = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' + 1 = 5 \cdot 2 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$2 y' + 1 = 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' + 1 - 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' - 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' - 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y'$ heraus.

$2 y' \cdot 1 - 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Schritt 6.3.3.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$2 y' \cdot 1 + 2 y' (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Schritt 6.3.3.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' \cdot 1 + 2 y' (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Schritt 6.3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ durch $2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ durch $2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1) - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1) + 2 (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.2.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.2.4

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 6.3.4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y' = \frac{- 1}{2 (1) - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' = \frac{- 1}{2 (1) + 2 (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$y' = \frac{- 1}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}$