Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x \sin (π x^{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u = π x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 \cdot x π d x$ , folglich $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = π x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x^{2}$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$π (2 x)$

Schritt 1.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π x$

Schritt 1.1.5

Stelle $2 π$ und $x$ um.

$x (2 π)$

Schritt 1.1.6

Stelle $x$ und $2$ um.

$2 \cdot x π$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = π x^{2}$ ein.

$u_{lower} = π \cdot 0^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = π x^{2}$ ein.

$u_{upper} = π \cdot 1^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = π \cdot 1$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$u_{upper} = π$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2 π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2 π}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Schritt 5

Berechne $- \cos (u)$ bei $π$ und $0$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (0))$

Schritt 6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + 1)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + 1)$

Schritt 7.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + 1)$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + 1)$

Schritt 7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 2$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{1}{2 (π)} \cdot 2$

Schritt 7.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} \cdot 2$

Schritt 7.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{π}$

Dezimalform:

$0.31830988 \dots$