Analysis Beispiele

$y = 2 \cos^{3} (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 \cos^{3} (x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos^{3} (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$6 \cos^{2} (x) (- \sin (x))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$