Analysis Beispiele

$\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}]$

Schritt 1.2

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

Schritt 1.3

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ als ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ um.

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$- y (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

Schritt 3.5

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + 0))$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 3.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ .

$y (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (2 \frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$y (\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ und $x$ .

$y \frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $y$ und $\frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{y (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{2 y x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$