Analysis Beispiele

$2 x^{3} \cdot \sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{3}} x^{3})]$

Schritt 2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3} + 3}]$

Schritt 2.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1 + 3 \cdot 3}{3}}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1 + 9}{3}}]$

Schritt 2.6.2

Addiere $1$ und $9$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{10}{3}}]$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{10}{3}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{3}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{10}{3}$ .

$2 (\frac{10}{3} x^{\frac{10}{3} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10}{3} x^{\frac{10}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10}{3} x^{\frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{10}{3} x^{\frac{10 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 (\frac{10}{3} x^{\frac{10 - 3}{3}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $3$ von $10$ .

$2 (\frac{10}{3} x^{\frac{7}{3}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{10}{3}$ und $x^{\frac{7}{3}}$ .

$2 \frac{10 x^{\frac{7}{3}}}{3}$

Schritt 10

Kombiniere $2$ und $\frac{10 x^{\frac{7}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 (10 x^{\frac{7}{3}})}{3}$

Schritt 11

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{20 x^{\frac{7}{3}}}{3}$